Regola di Ruffini? ... Ruffini's rule ! (RTW)

Non sempre è possibile scomporre un polinomio ricorrendo ad uno dei metodi visti in precedenza (raccoglimento a fattore comune, raccoglimento a fattore comune parziale, scomposizione mediante prodotti notevoli, somma o differenza di due cubi, scomposizione di un trinomio di secondo grado).

Un'ulteriore possibilità di scomposizione di un polinomio ci viene dall'applicazione della
REGOLA di RUFFINI ( http://en.wikipedia.org/wiki/Paolo_Ruffini ).

Affinché tale procedimento sia applicabile è necessario che ci troviamo di fronte ad un
POLINOMIO  ORDINATO secondo le POTENZE DECRESCENTI di x che chiameremo

P(x)  [ricordiamo che si legge P con x].

In una precedente lezione abbiamo appreso la REGOLA del RESTO che afferma che
il RESTO della DIVISIONE di un POLINOMIO INTERO in x, P(x), per il BINOMIO (x - a)
è il valore che assume il polinomio stesso quando SOSTITUIAMO alla lettera x il numero a.

Sappiamo anche che condizione necessaria e sufficiente affinché un POLINOMIO INTERO in x, P(x) sia divisibile per il binomio (x-a) è che il POLINOMIO si ANNULLI quando ad x si SOSTITUISCE a.

Se esistono dei valori che sostituiti alla variabile x, ANNULLANO il polinomio, essi prendono il nome di ZERI del POLINOMIO.

Se un polinomio ammette degli ZERI essi sono da cercare tra i RAPPORTI di:

• ogni DIVISORE del TERMINE NOTO preso sia con segno positivo che negativo;
• e ogni DIVISORE del PRIMO COEFFICIENTE preso sempre positivo o sempre negativo. 

Vediamo un esempio.
Vogliamo scomporre in fattori il seguente polinomio mediante la Regola di Ruffini:

3x³ +2x² -3x -2.

In primo luogo verifichiamo che il polinomio sia ordinato secondo le potenze decrescenti di x:
nel nostro caso ciò già si verifica. In caso contrario esso dovrebbe essere ordinato.

Vediamo, ora, se il polinomio ammette degli zeri. Cerchiamo i possibili zeri. Essi sono:

Termine noto	-2	Divisori del termine noto  (con segno + e -)	+1; -1; +2; -2.
Primo coefficiente	+3	Divisori del I coefficiente (con segno +)	+1; +3.
		Rapporti tra divisori del termine noto e divisori del I coefficiente:+1/+1 = 1; +1/+3 = 1/3; -1/+1 = -1: -1/+3 = -1/3; +2/+1 = 2; +2/+3 = 2/3; -2/+1 = -2; -2/+3 = -2/3.

Quelli che abbiamo trovato (1; 1/3; -1; -1/3; 2; 2/3; -2; -2/3) sono i possibili zeri del nostro polinomio. Questo significa che non è detto che essi siano effettivamente gli zeri del polinomio.

Per sapere se qualcuno di essi è veramente uno zero del nostro polinomio non ci resta che VERIFICARE se qualcuno di loro annulla il nostro polinomio.

Iniziamo:

P(x) =3x³ +2x² -3x -2.

P(1) = 3(1) +2(1) -3(1) -2 = 3 +2 -3 -2 = 0.  

Abbiamo trovato subito uno ZERO DEL POLINOMIO: esso è 1.

Questo significa che il nostro polinomio è DIVISIBILE per (x - 1).

Eseguiamo la DIVISIONE con la REGOLA di RUFFINI [ http://www.lezionidimatematica.net/Polinomi/lezioni/poli_lezione_31.htm ].

Per trovare i COEFFICIENTI del QUOZIENTE scriviamo sulla prima LINEA ORIZZONTALE i COEFFICIENTI del DIVIDENDO ricordando che il termine noto va scritto al di là di una linea verticale posta alla destra degli altri coefficienti (termine noto -2). 
Poi al di là della linea verticale di sinistra scriviamo il valore di a, nel nostro caso +1.
Il PRIMO COEFFICIENTE del quoziente è uguale al PRIMO COEFFICIENTE del DIVIDENDO. Nel nostro caso esso è 3: lo riscriviamo al di sotto della linea orizzontale.
Ogni COEFFICIENTE SUCCESSIVO si ottiene MOLTIPLICANDO il COEFFICIENTE PRECEDENTE per a e AGGIUNGENDO al prodotto il

COEFFICIENTE del DIVIDENDO che ha lo STESSO POSTO.

Il secondo coefficiente lo otteniamo moltiplicando il primo coefficiente del quoziente (ovvero 3) per a (nel nostro caso 1) e aggiungendo al prodotto (3) il coefficiente del dividendo che ha lo stesso posto (+3). 

[es.: http://www.lezionidimatematica.net/Polinomi/immagini_lezioni/lezione_31/im_04.PNG ]
Il terzo coefficiente lo otteniamo moltiplicando il secondo secondo coefficiente del quoziente (ovvero +5) per a (nel nostro caso +1) e aggiungendo al prodotto (+5) il coefficiente del dividendo che ha lo stesso posto (-3).
[es.:  http://www.lezionidimatematica.net/Polinomi/immagini_lezioni/lezione_31/im_05.PNG ]
Infine moltiplichiamo per a (nel nostro caso +1)  l'ULTIMO COEFFICIENTE del quoziente (ovvero +2) eAGGIUNGIAMO al prodotto (+2)  il termine noto del DIVIDENDO (-2). Il valore così trovato (0) rappresenta il RESTO della DIVISIONE: lo scriviamo sotto il termine noto a destra della seconda linea verticale.
[es.: http://www.lezionidimatematica.net/Polinomi/immagini_lezioni/lezione_31/im_06.PNG ]

Il risultato globale per QUESTO [3x³ +2x² -3x -2] nostro polinomio è il seguente:

Quindi, il nostro polinomio 3x³ +2x² -3x -2 sarà uguale a: (x-1) (3x² +5x +2).

Tratto da:

http://www.lezionidimatematica.net/Polinomi/lezioni/poli_lezione_39.htm